8. Дано: ∠ABC = 135°. Найти: BC. На рисунке AD = 30, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°.

В треугольнике BCD сумма углов равна 180°. Поэтому ∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°, а треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный. Следовательно, BC = CD.

Так как BC параллельно AD, углы ABC и BAD — внутренние односторонние, поэтому ∠BAD = 180° − 135° = 45°. В треугольнике ABD углы при A и D равны 45°, значит AB = BD и AD = AB√2.

Из AD = 30 получаем AB = 15√2. Поскольку BD — гипотенуза прямоугольного треугольника BCD с катетами BC = CD, BD = BC√2. Тогда BC = BD/√2 = AB/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.