8. Дано: ABCD — трапеция, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

В треугольнике BCD третий угол ∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°. Значит, треугольник BCD равнобедренный прямоугольный и BC = CD.

Угол ABD равен ∠ABC − ∠CBD = 135° − 45° = 90°. Так как AD ∥ BC и ∠BCD = 90°, то ∠CDA = 90°. Следовательно, ∠BDA = 90° − ∠BDC = 45°.

Треугольник ABD прямоугольный равнобедренный: ∠ABD = 90°, ∠BDA = ∠BAD = 45°. Его гипотенуза AD = 30, поэтому BD = 30/√2 = 15√2.

В треугольнике BCD с углами 45°, 45° и 90° гипотенуза BD равна BC√2. Значит, BC = 15.

Ответ: BC = 15.