8. Дано: AP = PC, BP = PD; на рисунке E и K — середины AB и CD, а F — середина AC. Доказать: EFKP — параллелограмм.

Из AP = PC и BP = PD следует, что диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD делятся точкой P пополам. Значит, ABCD — параллелограмм.

В треугольнике ABC точки E и F — середины AB и AC, поэтому EF ∥ BC и EF = BC/2. В параллелограмме BC ∥ AD и BC = AD. Поскольку P — середина BD, а K — середина CD, в треугольнике BCD отрезок PK — средняя линия: PK ∥ BC и PK = BC/2. Следовательно, EF ∥ PK и EF = PK.

Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, — параллелограмм. Значит, EFKP — параллелограмм.