8. Докажите, что если a = kb и k ≠ 0, то векторы a и b коллинеарны.

Доказательство:

Дано: два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), такие что \( \vec{a} = k \vec{b} \), где \( k \) — ненулевой скаляр (\( k
eq 0 \)).

Доказать: векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны.

Определение коллинеарных векторов: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они параллельны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Анализ условия:

• Условие \( \vec{a} = k \vec{b} \) означает, что вектор \( \vec{a} \) получен умножением вектора \( \vec{b} \) на скаляр \( k \).
• Свойство умножения вектора на скаляр заключается в том, что результирующий вектор либо сонаправлен с исходным (если \( k > 0 \)), либо противоположен ему по направлению (если \( k < 0 \)). В обоих случаях направление сохраняется или меняется на противоположное, но вектор остается параллельным исходному.
• Поскольку \( k
  eq 0 \), вектор \( \vec{a} \) не является нулевым (если \( \vec{b} \) не нулевой). Если \( \vec{b} \) нулевой, то \( \vec{a} \) также нулевой. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
• Если \( \vec{b} \) — ненулевой вектор, то вектор \( \vec{a} \), будучи результатом умножения \( \vec{b} \) на скаляр \( k
  eq 0 \), будет иметь то же или противоположное направление, но будет лежать на той же прямой (или на параллельной ей прямой, проходящей через начало \( \vec{a} \)).

Вывод:

Согласно определению коллинеарных векторов, если один вектор может быть получен из другого путем умножения на ненулевой скаляр, то эти векторы коллинеарны.

Таким образом, из условия \( \vec{a} = k \vec{b} \) и \( k
eq 0 \) следует, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны.

Что и требовалось доказать.