8. Докажите, что значение выражения (1/(x² + x) − x/(x + 1)) : (1 − x) − 1/x не зависит от значения переменной.

Область допустимых значений: \(x\ne0,-1,1\).

Сначала упростим выражение в скобках:

\(\frac{1}{x^2+x}-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{x^2}{x(x+1)}=\frac{1-x^2}{x(x+1)}=\frac{(1-x)(1+x)}{x(1+x)}=\frac{1-x}{x}\).

Тогда \(\frac{1-x}{x}:(1-x)-\frac1x=\frac1x-\frac1x=0\).

При всех допустимых значениях переменной выражение равно одному и тому же числу, следовательно, оно не зависит от значения переменной.

Ответ: выражение постоянно и равно 0.