8. Докажите неравенство $10x^2-6xy+y^2-4x+6>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Докажите неравенство $10x^2-6xy+y^2-4x+6>0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем левую часть, выделяя полные квадраты:

$10x^2-6xy+y^2-4x+6=(y-3x)^2+x^2-4x+6$.

Так как $x^2-4x+6=(x-2)^2+2$, то

$10x^2-6xy+y^2-4x+6=(y-3x)^2+(x-2)^2+2$.

Квадраты неотрицательны, а $2>0$. Следовательно, сумма строго положительна.

Ответ: неравенство доказано для любых действительных $x$ и $y$.

8. Докажите неравенство \(10x^2-6xy+y^2-4x+6>0\).