8 класс, 1. На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.
2. Точки E и K лежат на AC, причём AE=CK. Поскольку O — середина AC, равные отрезки, отложенные от A и C, дают, что O — середина EK.
3. В четырёхугольнике BEDK диагонали — EK и BD. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.
4. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, BEDK — параллелограмм.