8. MABC — правильный тетраэдр, все рёбра равны 8, AK : KB = 1 : 3. Постройте сечение, проходящее через точки K и L, параллельно прямой AC. б) Найдите S_сеч.

На рисунке K лежит на AB, L — середина MC (это отмечено засечками). Так как AK : KB = 1 : 3 и AB = 8, получаем AK = 2 и KB = 6.

Через K проведём прямую, параллельную AC. В грани ABC она пересечёт BC в точке P. По подобию треугольников BКP и BАС: BK/BA = BP/BC = 6/8, поэтому BP = 6 и PC = 2.

Через L проведём прямую, параллельную AC. В грани MBC она пересечёт MB в точке Q. Поскольку L — середина MC, по подобию треугольников MLQ и MCB получаем MQ = QB = 4.

Соединим точки K, P, L и Q. Сечение — четырёхугольник KPLQ; его противоположные стороны параллельны AC, поэтому это трапеция.

В правильном тетраэдре высота грани со стороной 8 равна 4√3. Основания трапеции имеют длины KP = (6/8)·8 = 6 и QL = (1/2)·8 = 4. Расстояние между ними равно высоте грани MBC, умноженной на долю между уровнями 6/8 и 1/2: h = 4√3·(6/8 − 1/2) = √3.

Тогда площадь сечения равна S = ((6 + 4)/2)·√3 = 5√3.

Ответ: S_сеч. = 5√3.