8. На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырёхугольник MBND — параллелограмм.

Пусть точки расположены на одной прямой в порядке M, A, O, C, N, где O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Тогда AM=CN по условию.

а) В прямоугольнике AD=CB, а углы между диагональю AC и параллельными сторонами AD и CB равны, поэтому \(\angle MAD=\angle NCB\). Вместе с AM=CN получаем равенство треугольников MAD и NCB по двум сторонам и углу между ними.

б) Диагонали прямоугольника делятся точкой O пополам, поэтому AO=OC и DO=OB. Так как AM=CN, то \(OM=OA+AM=OC+CN=ON\); значит, O — середина MN. Также O — середина BD. Следовательно, диагонали четырёхугольника MBND взаимно делятся пополам. По признаку параллелограмма MBND — параллелограмм.