8. На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите, что четырёхугольник MBDN является параллелограммом.

Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке O.

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OA=OC\) и \(OB=OD\).
2. Точки M, A, O, C и N лежат на одной прямой. По условию \(AM=CN\). Следовательно, отрезок MN состоит из равных частей \(AM\), \(AO\), \(OC\) и \(CN\), а точка O — его середина.
3. Точка O также является серединой диагонали BD. Значит, в четырёхугольнике MBDN диагонали MN и BD пересекаются и делятся пополам.
4. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, MBDN — параллелограмм.