8. На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отрезки AM и CN отложены равные. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырёхугольник MBND — параллелограмм.

а) В прямоугольнике \(AD=CB\), а по условию \(AM=CN\). Поскольку \(AD\parallel CB\), а точки \(M,A,C,N\) лежат на одной прямой, углы \(MAD\) и \(NCB\) равны как углы, образованные параллельными прямыми и одной секущей. Следовательно, \(\triangle MAD=\triangle NCB\) по двум сторонам и углу между ними.

б) Обозначим через \(O\) точку пересечения диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(BD\) и \(AC\). На прямой \(M-A-C-N\) дано \(AM=CN\), следовательно, \(O\) также является серединой \(MN\). В четырёхугольнике \(MBND\) диагонали \(MN\) и \(BD\) пересекаются и делятся пополам. Значит, \(MBND\) — параллелограмм.