8. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и АД. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Решение:

Обозначим \( \angle BAC = \alpha \). Так как AD — биссектриса угла BAC, то \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2} \).

По условию AB = AC = AD. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

В треугольнике ABD: AB = AD. Это равнобедренный треугольник. Углы при основании BD равны: \( \angle ABD = \angle ADB \).

В треугольнике ACD: AC = AD. Это равнобедренный треугольник. Углы при основании CD равны: \( \angle ACD = \angle ADC \).

Сумма углов в треугольнике ABD: \( \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} + 2\angle ADB = 180^{\circ} \) (1)

Сумма углов в треугольнике ACD: \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} + 2\angle ADC = 180^{\circ} \) (2)

Из (1) и (2) следует, что \( \angle ADB = \angle ADC \).

Угол BDC = \( \angle ADB + \angle ADC = 160^{\circ} \).

Так как \( \angle ADB = \angle ADC \), то \( \angle ADB = \angle ADC = 160^{\circ} / 2 = 80^{\circ} \).

Подставим \( \angle ADB = 80^{\circ} \) в уравнение (1):

\( \frac{\alpha}{2} + 2 \times 80^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} + 160^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} = 180^{\circ} - 160^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} = 20^{\circ} \).

\( \alpha = 40^{\circ} \).

Ответ: 40.