C1. В окружности с центром О проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры ОН и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle OHL \) и \( \triangle OSM \).

1. \( OL = OM \) — радиусы окружности.

2. \( KL = MN \) — равные хорды по условию.

3. \( OH \perp KL \) и \( OS \perp MN \) — перпендикуляры, опущенные на хорды.

Так как \( OH \) и \( OS \) — перпендикуляры, опущенные из центра окружности на хорды, то они делят эти хорды пополам. Следовательно, \( HL = \frac{1}{2}KL \) и \( SM = \frac{1}{2}MN \).

Поскольку \( KL = MN \), то и \( HL = SM \).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle OHL \) и \( \triangle OSM \) (так как \( \angle OHL = 90^{\circ} \) и \( \angle OSM = 90^{\circ} \)).

У нас есть:

• Гипотенуза \( OL = OM \) (радиусы).
• Катет \( HL = SM \).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (гипотенуза-катет), \( \triangle OHL = \triangle OSM \).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в том числе катетов: \( OH = OS \).

Что и требовалось доказать.