С2. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

1. Найдем угол B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 60^{\circ} = 100^{\circ} \).

2. Найдем угол \( \angle ABH \) в прямоугольном треугольнике ABH (так как BH — высота).

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).

3. Найдем угол \( \angle CBD \) в прямоугольном треугольнике CBH.

\( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

4. Найдем угол \( \angle DBC \) (тот же, что и \( \angle CBH \) ): \( \angle DBC = 30^{\circ} \).

5. BD — биссектриса угла ABC. Найдем \( \angle ABD \).

\( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

6. Найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD. Этот угол равен разности углов \( \angle ABD \) и \( \angle ABH \).

\( \angle DBH = | \angle ABD - \angle ABH | = | 50^{\circ} - 70^{\circ} | = |-20^{\circ}| = 20^{\circ} \).

Ответ: 20.