8. Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{65} - \sqrt{13}}{\sqrt{5}} \)

Решение:

• Разделим числитель на знаменатель почленно:
• \( \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}} \)
• \( = \sqrt{\frac{65}{5}} - \sqrt{\frac{13}{5}} \)
• \( = \sqrt{13} - \sqrt{\frac{13}{5}} \)
• Вынесем \( \sqrt{13} \) за скобки:
• \( = \sqrt{13} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \)
• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель второй дроби на \( \sqrt{5} \):
• \( = \sqrt{13} \left( 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \right) \)
• Приведём к общему знаменателю в скобках:
• \( = \sqrt{13} \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{5} \right) \)
• \( = \frac{\sqrt{13} (5 - \sqrt{5})}{5} \)

Ответ: \(\frac{5\sqrt{13} - \sqrt{65}}{5}\)