8. Найти интегралы: a) ∫(sin x - 5)dx б) ∫(4x³ - 2x + 1)dx

Решение:

а) \( \int (\sin x - 5) dx \)

1. Используем свойство линейности интеграла: \( \int (f(x) - g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx \).
2. \( \int \sin x dx = -\cos x \)
3. \( \int 5 dx = 5x \)
4. Следовательно, \( \int (\sin x - 5) dx = -\cos x - 5x + C \)

б) \( \int (4x^3 - 2x + 1) dx \)

1. Используем свойство линейности интеграла: \( \int (f(x) + g(x) + h(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx + \int h(x) dx \).
2. \( \int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \)
3. \( \int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \)
4. \( \int 1 dx = x \)
5. Следовательно, \( \int (4x^3 - 2x + 1) dx = x^4 - x^2 + x + C \)

Ответ: а) \( -\cos x - 5x + C \); б) \( x^4 - x^2 + x + C \).