8) Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 50. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Задание 8. Синус острого угла трапеции

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Основания: \( a = 50 \) м, \( b = 10 \) м.
• Боковые стороны: \( c = 25 \) м.

Найти: синус острого угла трапеции.

Решение:

1. Пусть данная трапеция ABCD, где AB и CD — основания (\( AB = 50 \), \( CD = 10 \)), а BC и AD — боковые стороны (\( BC = AD = 25 \)).
2. Проведем из вершин C и D высоты к основанию AB. Обозначим их как CE и DF.
3. Получим прямоугольник CDEF, где \( EF = CD = 10 \) м.
4. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки AF и EB равны: \( AF = EB = \frac{AB - EF}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) м.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADF. Мы знаем прилежащий катет \( AF = 20 \) м и гипотенузу \( AD = 25 \) м.
6. Найдем высоту DF по теореме Пифагора: \( DF^2 = AD^2 - AF^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225 \). Следовательно, \( DF = √{225} = 15 \) м.
7. Теперь найдем синус острого угла A: \( ∅ ∠ A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DF}{AD} \).
8. \[ ∅ ∠ A = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \].

Ответ: Синус острого угла трапеции равен 3/5 (или 0.6).