8. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, В =6. Докажите, что треугольники СBD и BDA подобны.

Решение:

Дано: ABCD — трапеция, \( BC = 3 \), \( AD = 12 \). Доказать, что \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \).

Доказательство:

1. Углы при основании трапеции равны:

\( \angle CBD \) и \( \angle BDA \) являются накрест лежащими при параллельных основаниях \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Следовательно, \( \angle CBD = \angle BDA \).

2. Углы \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) могут быть не равны.

3. Рассмотрим отношение сторон:

\( \frac{BC}{BD} \) и \( \frac{CD}{AD} \) или \( \frac{BC}{AD} \) и \( \frac{CD}{BD} \).

У нас есть основания \( BC = 3 \) и \( AD = 12 \). Отношение оснований: \( \frac{BC}{AD} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).

Для подобия треугольников \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) по второму признаку подобия (по двум углам), нам нужно найти еще одну пару равных углов.

Рассмотрим углы \( \angle BDC \) и \( \angle ABD \).

Эти углы также являются накрест лежащими при параллельных основаниях \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Следовательно, \( \angle BDC = \angle ABD \).

Таким образом, в треугольниках \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) равны два угла:

\( \angle CBD = \angle BDA \) (накрест лежащие)

\( \angle BDC = \angle ABD \) (накрест лежащие)

По второму признаку подобия (по двум углам), треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) подобны.

Что и требовалось доказать.