8. По рисунку: диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; DO = OB, отмеченные углы DCA и CAB равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Из равенства ∠DCA и ∠CAB следует, что DC ∥ AB: это накрест лежащие углы при секущей AC.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD вертикальные, а углы ABO и CDO равны как накрест лежащие при AB ∥ DC и секущей BD. Кроме того, OB = OD по отметкам. Следовательно, треугольники равны, откуда OA = OC.

Значит, диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.