8. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, AH — его высота. Докажите, что ∠BAH = ∠OAC.

Доказательство:

• Угол ∠BAH является частью угла ∠BAC.
• Угол ∠OAC является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
• Вписанный угол ∠BAC опирается на ту же дугу BC.
• Следовательно, ∠BAC = 2 * ∠OAC.
• Также, ∠BAH = ∠BAC - ∠OAH.
• Рассмотрим треугольник OAC. Так как OA = OC (радиусы), то треугольник OAC равнобедренный.
• Рассмотрим треугольник AHB. Угол AHB = 90°.
• Угол ∠OAH опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен ∠AOB.
• Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу AB. Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2.
• Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA = OB (радиусы), то треугольник OAB равнобедренный.
• Угол ∠OAC = 90° - ∠OCA.
• Угол ∠BAH = 90° - ∠ABH.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. ∠ABH = 90° - ∠BAH.
• Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
• Пусть ∠OAC = α. Тогда ∠OCA = α.
• Угол ∠AOC = 180° - 2α.
• Вписанный угол ∠ABC = ∠AOC / 2 = (180° - 2α) / 2 = 90° - α.
• Угол ∠BAH = 90° - ∠ABH = 90° - ∠ABC = 90° - (90° - α) = α.
• Следовательно, ∠BAH = ∠OAC.

Доказано.