8. Решите систему уравнений $$\begin{cases} \frac{2x-y}{6}+\frac{2x+y}{9}=3 \\ \frac{x+y}{3}-\frac{x-4}{4}=3 \end{cases}$$

Упрощение первого уравнения:

1. Общий знаменатель для 6 и 9 — 18.
2. Умножим обе части уравнения на 18:
   $$18 \cdot \left( \frac{2x-y}{6} \right) + 18 \cdot \left( \frac{2x+y}{9} \right) = 18 \cdot 3$$
   $$3(2x-y) + 2(2x+y) = 54$$
   $$6x - 3y + 4x + 2y = 54$$
   $$10x - y = 54$$

Упрощение второго уравнения:

1. Общий знаменатель для 3 и 4 — 12.
2. Умножим обе части уравнения на 12:
   $$12 \cdot \left( \frac{x+y}{3} \right) - 12 \cdot \left( \frac{x-4}{4} \right) = 12 \cdot 3$$
   $$4(x+y) - 3(x-4) = 36$$
   $$4x + 4y - 3x + 12 = 36$$
   $$x + 4y = 36 - 12$$
   $$x + 4y = 24$$

Получили новую систему:

Решение методом подстановки:

1. Выразим y из первого уравнения:
   $$y = 10x - 54$$
2. Подставим выражение для y во второе уравнение:
   $$x + 4(10x - 54) = 24$$
   $$x + 40x - 216 = 24$$
   $$41x = 24 + 216$$
   $$41x = 240$$
   $$x = \frac{240}{41}$$
3. Найдем y, подставив значение x в выражение для y:
   $$y = 10 \left( \frac{240}{41} \right) - 54$$
   $$y = \frac{2400}{41} - \frac{54 \cdot 41}{41}$$
   $$y = \frac{2400 - 2214}{41}$$
   $$y = \frac{186}{41}$$

Ответ: $$x = \frac{240}{41}$$, $$y = \frac{186}{41}$$