8. Решите систему уравнений { x+y + x-y = 4, 8 6 3x+y + 2x-5y = 5. 4 3 }

Задание 8. Решение системы уравнений

Сначала упростим каждое уравнение в системе, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение:

(x+y)/8 + (x-y)/6 = 4

1. Найдем общий знаменатель для 8 и 6. Это 24.
2. Умножим каждое слагаемое на 24:
3. 24 * (x+y)/8 + 24 * (x-y)/6 = 24 * 4
4. 3(x+y) + 4(x-y) = 96
5. Раскроем скобки:
6. 3x + 3y + 4x - 4y = 96
7. Приведем подобные:
8. 7x - y = 96 (Упрощенное первое уравнение)

Второе уравнение:

(3x+y)/4 + (2x-5y)/3 = 5

1. Найдем общий знаменатель для 4 и 3. Это 12.
2. Умножим каждое слагаемое на 12:
3. 12 * (3x+y)/4 + 12 * (2x-5y)/3 = 12 * 5
4. 3(3x+y) + 4(2x-5y) = 60
5. Раскроем скобки:
6. 9x + 3y + 8x - 20y = 60
7. Приведем подобные:
8. 17x - 17y = 60 (Упрощенное второе уравнение)

Теперь у нас есть система упрощенных уравнений:

1. 7x - y = 96
2. 17x - 17y = 60

Из первого уравнения выразим y:

y = 7x - 96

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

1. 17x - 17(7x - 96) = 60
2. Раскроем скобки:
3. 17x - 119x + 1632 = 60 (17 * 96 = 1632)
4. Приведем подобные:
5. -102x + 1632 = 60
6. Перенесем 1632 в правую часть:
7. -102x = 60 - 1632
8. -102x = -1572
9. Найдем x, разделив обе части на -102:
10. x = -1572 / -102
11. x = 15.41176... (Это дробь 1572/102 = 786/51 = 262/17)
12. x = 262/17

Теперь найдем y, подставив x = 262/17 в уравнение y = 7x - 96:

1. y = 7 * (262/17) - 96
2. y = 1834/17 - 96
3. Приведем к общему знаменателю 17:
4. y = 1834/17 - (96 * 17)/17
5. y = 1834/17 - 1632/17
6. y = (1834 - 1632) / 17
7. y = 202 / 17

Ответ: x = 262/17, y = 202/17.