8. Синус острого угла равен. Найдите его косинус, тангенс и котангенс.

Решение:

Пусть острый угол равен \( α \). По условию \( ∅α = \frac{1}{3} \).

1. Найдём косинус:
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( ∅^2α + ∅^2α = 1 \).
   \( ∅^2α = 1 - ∅^2α = 1 - \big(\frac{1}{3}\big)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).
   Так как \( α \) — острый угол, его косинус положителен.
   \( ∅α = √{\frac{8}{9}} = \frac{√{8}}{3} = \frac{2√{2}}{3} \).
2. Найдём тангенс:
   \( ∂α = \frac{∅α}{∅α} = \frac{1/3}{2√{2}/3} = \frac{1}{2√{2}} = \frac{√{2}}{4} \).
3. Найдём котангенс:
   \( ∂α = \frac{1}{∂α} = \frac{1}{√{2}/4} = \frac{4}{√{2}} = 2√{2} \).

Ответ: косинус равен \(\frac{2√{2}}{3}\), тангенс равен \(\frac{√{2}}{4}\), котангенс равен 2√{2}.