8. Составьте уравнение, соответствующее условию задачи: расстояние между пунктами A и B по реке 24 км. Катер проплыл от пункта A до пункта B и вернулся обратно, затратив на весь путь 3,5 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна \(x+2\), а против течения — \(x-2\); необходимо, чтобы \(x>2\).

Время в пути от A до B и обратно составляет:

\(\frac{24}{x+2}+\frac{24}{x-2}=3.5\).

Решим уравнение: \(\frac{48x}{x^2-4}=\frac72\), откуда \(96x=7x^2-28\), то есть \(7x^2-96x-28=0\).

Дискриминант: \(D=(-96)^2-4\cdot7\cdot(-28)=10000\). Тогда \(x=\frac{96\pm100}{14}\), то есть \(x=14\) или \(x=-\frac27\). Второе значение не подходит, поскольку скорость должна быть больше скорости течения.

Ответ: собственная скорость катера — 14 км/ч.