8. Точки K и L лежат на прямых PN и PM, пересекающих плоскость α в точках N и M, соответственно, причём PK:KN = PL:LM = 2:3. Докажите, что прямая KL параллельна плоскости α.

Так как K лежит на PN и \(PK:KN=2:3\), получаем \(PK:PN=2:(2+3)=2/5\). Аналогично, \(PL:PM=2/5\).

В треугольнике PNM точки K и L делят стороны PN и PM в одинаковом отношении от вершины P. По обратной теореме о пропорциональных отрезках \(KL\parallel NM\). Прямая NM лежит в плоскости α, а KL ей параллельна, следовательно, KL не пересекает α.

Ответ: KL ∥ α.