8. Укажите решение неравенства \( (x + 4)(x - 8) > 0 \).

Решение:

Чтобы решить неравенство \( (x + 4)(x - 8) > 0 \), найдём корни соответствующего уравнения \( (x + 4)(x - 8) = 0 \). Корнями являются \( x = -4 \) и \( x = 8 \).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty; -4) \)
• \( (-4; 8) \)
• \( (8; +\infty) \)

Определим знак выражения \( (x + 4)(x - 8) \) в каждом интервале:

• В интервале \( (-\infty; -4) \), например, при \( x = -5 \): \( (-5 + 4)(-5 - 8) = (-1)(-13) = 13 > 0 \).
• В интервале \( (-4; 8) \), например, при \( x = 0 \): \( (0 + 4)(0 - 8) = (4)(-8) = -32 < 0 \).
• В интервале \( (8; +\infty) \), например, при \( x = 9 \): \( (9 + 4)(9 - 8) = (13)(1) = 13 > 0 \).

Нам нужно, где выражение больше нуля. Это интервалы \( (-\infty; -4) \) и \( (8; +\infty) \).

На числовой прямой это выглядит как:

Ответ: \( x < -4 \) или \( x > 8 \).