8. Упростите выражение \(\frac{x^2}{x^2+7xy} : \frac{x}{x^2-49y^2}\) и найдите его значение при \( x = 4, y = \frac{2}{7} \). В ответ запишите полученное число.

Решение:

1. Запишем деление как умножение на обратную дробь:
2. \[ \frac{x^2}{x^2+7xy} \cdot \frac{x^2-49y^2}{x} \]
3. Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на множители:
4. \( x^2+7xy = x(x+7y) \)
5. \( x^2-49y^2 = (x-7y)(x+7y) \) (разность квадратов)
6. Подставим разложенные выражения:
7. \[ \frac{x^2}{x(x+7y)} \cdot \frac{(x-7y)(x+7y)}{x} \]
8. Сократим общие множители: \( x \) и \( (x+7y) \)
9. \[ \frac{x}{1} \cdot \frac{x-7y}{x} \]
10. Сократим ещё одну \( x \):
11. \[ \frac{x-7y}{1} = x-7y \]
12. Теперь подставим значения \( x = 4 \) и \( y = \frac{2}{7} \):
13. \[ 4 - 7 \cdot \frac{2}{7} = 4 - 2 = 2 \]

Ответ: 2