8. В классе 25 учащихся. Из них 15 человек посещают кружок по рисованию, а 12 — кружок по пению. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях: ○ Хотя бы один учащийся из этого класса посещает оба кружка. ○ Найдется 4 учащихся, которые не посещают ни один из этих кружков. ○ Каждый, кто посещает кружок по рисованию, обязательно посещает кружок по пению. ○ Не более 12 учащихся посещают оба кружка.

Обоснование:

Пусть P — множество учеников, посещающих кружок по рисованию, а П — множество учеников, посещающих кружок по пению. Из условия известно:

• Общее количество учеников = 25
• |P| = 15
• |П| = 12

1. Хотя бы один учащийся из этого класса посещает оба кружка.

Пусть x — количество учеников, посещающих оба кружка. Тогда:

• Количество учеников, посещающих только рисование = 15 - x
• Количество учеников, посещающих только пение = 12 - x
• Количество учеников, не посещающих ни один кружок = 25 - (15 - x) - (12 - x) - x = 25 - 15 + x - 12 + x - x = x - 2

Сумма всех учеников: (15 - x) + (12 - x) + x + (x - 2) = 25.

Чтобы все количества были неотрицательными:

• x ≥ 0
• 15 - x ≥ 0 => x ≤ 15
• 12 - x ≥ 0 => x ≤ 12
• x - 2 ≥ 0 => x ≥ 2

Таким образом, 2 ≤ x ≤ 12. Так как x ≥ 2, то утверждение «Хотя бы один учащийся посещает оба кружка» верно.

2. Найдется 4 учащихся, которые не посещают ни один из этих кружков.

Количество учеников, не посещающих ни один кружок, равно x - 2. Поскольку 2 ≤ x ≤ 12, то минимальное значение x - 2 равно 2 - 2 = 0, а максимальное — 12 - 2 = 10. Значит, количество не посещающих кружки может быть любым числом от 0 до 10. Утверждение, что найдется именно 4 таких ученика, не обязательно верно, но возможно. Однако, формулировка «Найдется 4 учащихся» означает существование, а не строгое равенство. Чтобы это утверждение было однозначно верным, нам нужно, чтобы 4 было в диапазоне [0, 10]. Да, это возможно.

3. Каждый, кто посещает кружок по рисованию, обязательно посещает кружок по пению.

Это означает, что множество P является подмножеством множества П (|P| ≤ |П|). Но 15 > 12, что противоречит этому условию. Следовательно, это утверждение неверно.

4. Не более 12 учащихся посещают оба кружка.

Из нашего анализа (2 ≤ x ≤ 12) следует, что максимальное количество учащихся, посещающих оба кружка, равно 12. Следовательно, это утверждение верно.

Вывод: Верными являются утверждения: «Хотя бы один учащийся из этого класса посещает оба кружка» и «Не более 12 учащихся посещают оба кружка». Также верно утверждение «Найдется 4 учащихся, которые не посещают ни один из этих кружков», так как 4 находится в возможном диапазоне.

Ответ:

• Хотя бы один учащийся из этого класса посещает оба кружка.
• Найдется 4 учащихся, которые не посещают ни один из этих кружков.
• Не более 12 учащихся посещают оба кружка.