8. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен \(\sqrt{14}\). Найти сторону основания пирамиды.

Обозначим сторону квадратного основания через \(a\), центр основания — через \(O\), середину стороны основания — через \(M\), вершину пирамиды — через \(S\). Тогда \(OM=\frac a2\), а из тангенса двугранного угла \(SO=OM\sqrt{14}=\frac{a\sqrt{14}}2\).

Расстояние от центра квадрата до его вершины равно \(OA=\frac{a}{\sqrt2}\). В прямоугольном треугольнике \(SOA\) боковое ребро \(SA=22\), поэтому \(22^2=SO^2+OA^2\).

Подставим выражения: \(484=\frac{14a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=4a^2\). Следовательно, \(a^2=121\), откуда \(a=11\).

Ответ: 11.