8. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC. Найдите угол между диагоналями DB₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона квадратного основания равна a, а высота призмы — h. Тогда BC = a и AC₁² = 2a² + h².

Из условия AC₁ = 2BC получаем 2a² + h² = 4a², поэтому h² = 2a².

Зададим координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0). Тогда векторы DB₁ = (a; −a; h), CA₁ = (−a; −a; h). Их скалярное произведение равно h² = 2a², а длина каждого вектора равна AC₁ = 2a.

Следовательно, косинус угла между диагоналями равен 2a² / (2a · 2a) = 1/2.

Ответ: 60°.