8. В треугольнике ABC ∠ACB = 90°, ∠1 = 75°, AB = 10. Точка M лежит на AB, CM — биссектриса угла ACB, а ∠1 = ∠AMC. Найти AC.

Так как CM — биссектриса прямого угла C, \(\angle ACM=90^\circ:2=45^\circ\).

В треугольнике ACM: \(\angle CAM=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ\). Поскольку M лежит на AB, \(\angle CAB=60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза \(AB=10\), поэтому \(AC=AB\cos60^\circ=10\cdot\dfrac{1}{2}=5\).

Ответ: \(AC=5\).