8) В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 8 см, AD — медиана, BE — высота, BE = 12 см. Из точки D опущен перпендикуляр DF на сторону AC. Найдите отрезок DF и ∠DAC

Так как AB=BC, то треугольник ABC равнобедренный, и медиана AD также является высотой и биссектрисой. Поскольку AD - медиана, она делит сторону AC пополам, следовательно, CD = \(\frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Рассмотрим треугольники BDA и BDC, они равны (по трем сторонам) и \(\angle BAD = \angle BCD\) . Теперь рассмотрим треугольники ADC и DFC, они подобны, так как оба прямоугольные, и у них есть общий угол \(\angle ACD\). Из этого подобия следует пропорция \(\frac{DF}{AD} = \frac{CD}{AC}\). В равнобедренном треугольнике высота BE делит AC пополам, назовем точку пересечения высоты BE и AC точкой H. AH=HC=4. Рассмотрим треугольник ABE. В нем \(AH=4\), \(BE = 12\) . Найдем площадь треугольника ABC как \(S = \frac{1}{2} * AC * BE = \frac{1}{2} * 8 * 12 = 48\). Так как AD - медиана, то она делит треугольник ABC на 2 равновеликих. Найдем \(AD\) по теореме Пифагора. \(AD^2 + DC^2 = AC^2\). \(AD^2 + 4^2 = AB^2\) и \(AH^2 + BH^2 = AB^2\) и \(BH = 12\), \(AB^2 = 4^2 + 12^2 = 160\), \(AB=4\sqrt{10}\). Тогда \(AD^2 + 16 = 160\), \(AD = \sqrt{144} = 12\). В итоге \(\frac{DF}{12} = \frac{4}{8}\), значит \(DF = 6\). Треугольник ADC - равнобедренный, \(AD=CD\), следовательно \(\angle DAC = \angle ACD\). Так как AD - высота, то треугольник ADC - прямоугольный. Поэтому \(\angle DAC = 45^o\). Ответ: DF = 6 см, ∠DAC = 45°.