8. Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты A(−3; −1), B(1; 2), C(5; −1), D(1; −4). Докажите, что ABCD — ромб, и найдите его площадь.

Найдём длины сторон по координатам вершин:

\(AB=\sqrt{(1+3)^2+(2+1)^2}=5,\quad BC=\sqrt{(5-1)^2+(-1-2)^2}=5.\)

\(CD=\sqrt{(1-5)^2+(-4+1)^2}=5,\quad DA=\sqrt{(-3-1)^2+(-1+4)^2}=5.\)

Все четыре стороны равны, следовательно, ABCD — ромб.

Диагонали: \(AC=5-(-3)=8\), а \(BD=2-(-4)=6\). Они перпендикулярны: AC горизонтальна, BD вертикальна. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24.\)

Ответ: ABCD — ромб; его площадь равна 24 квадратным единицам.