8. Вычислите предел функции: \( \lim_{x\to\infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 3x^3 + 1} \).

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \to \infty \) необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^4 \).

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 3x^3 + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{5x^4}{x^4} - \frac{x^3}{x^4} + \frac{2x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} - \frac{3x^3}{x^4} + \frac{1}{x^4}} \]\[ = \lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^4}} \]

Когда \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^k} \) (где \( k > 0 \)) стремятся к нулю.

\[ = \frac{5 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{5}{1} = 5 \]

Ответ: 5.