14. Два тела начинают двигаться из одной точки со скоростью \( v_1 = t + 1 \) м/с и \( v_2 = t^3 - 3t \) м/с. Какое расстояние будет между ними через 6с от начала движения, если они движутся в одном направлении.

Решение:

Расстояние, пройденное телом, равно интегралу от его скорости по времени.

1. Найдем закон движения для первого тела \( S_1(t) \) (интегрируем \( v_1(t) \)):
   \[ S_1(t) = \int v_1(t) dt = \int (t + 1) dt = \frac{t^2}{2} + t + C_1 \]

   Так как тела начинают движение из одной точки, \( S_1(0) = 0 \). Подставляя \( t=0 \), получаем \( C_1 = 0 \).
   Значит, \( S_1(t) = \frac{t^2}{2} + t \).

2. Найдем закон движения для второго тела \( S_2(t) \) (интегрируем \( v_2(t) \)):
   \[ S_2(t) = \int v_2(t) dt = \int (t^3 - 3t) dt = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + C_2 \]

   Так как тела начинают движение из одной точки, \( S_2(0) = 0 \). Подставляя \( t=0 \), получаем \( C_2 = 0 \>.
   Значит, \( S_2(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} \>.

3. Найдем пройденные расстояния через 6 секунд:
4. \( S_1(6) = \frac{6^2}{2} + 6 = \frac{36}{2} + 6 = 18 + 6 = 24 \) м.
5. \( S_2(6) = \frac{6^4}{4} - \frac{3 · 6^2}{2} = \frac{1296}{4} - \frac{3 · 36}{2} = 324 - 54 = 270 \) м.
6. Найдем расстояние между телами:
   \[ \(\Delta\) S = |S_2(6) - S_1(6)| = |270 - 24| = 246 \) м.

Ответ: 246 м.