13. Вычислите предел функции: \( \lim_{x\to1} \frac{x-1}{x^2 - 10x + 9} \).

Решение:

При подстановке \( x = 1 \) в числитель и знаменатель получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Разложим знаменатель на множители.

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 10x + 9 = 0 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10 \) и \( x_1 x_2 = 9 \).

Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 9 \).

Значит, \( x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9) \).

Теперь вычислим предел:

\[ \lim_{x\to1} \frac{x-1}{(x - 1)(x - 9)} \]

Сократим \( (x - 1) \) (так как \( x \to 1 \), \( x \neq 1 \)):

\[ \lim_{x\to1} \frac{1}{x - 9} \]

Подставим \( x = 1 \):

\[ \frac{1}{1 - 9} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} \]

Ответ: \( -\frac{1}{8} \).