7. Решите тригонометрическое уравнение: \( \sin{\frac{x}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Решение:

Общее решение уравнения \( \sin y = a \) имеет вид \( y = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

1. В нашем случае \( y = \frac{x}{4} \) и \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. Находим \( \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4} \).
3. Подставляем в общую формулу:
   \[ \frac{x}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \)
4. Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы выразить \( x \):
   \[ x = 4 \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \right) \]\[ x = (-1)^n \pi + 4\pi n \]

Ответ: \( x = (-1)^n \pi + 4\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).