9. (26). Постройте график функции и определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Данная функция задана кусочно:

y = { 2x + 1, если x < 0 -1,5x, если x ≥ 0

Нам нужно построить график этой функции и понять, при каких значениях константы 'c' прямая y=c пересекает график ровно в двух точках.

Шаг 1: Построение графика функции

Первая часть: y = 2x + 1 при x < 0

• Это линейная функция. Построим её для отрицательных значений x.
• Найдем две точки:
• При x = -1, y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1. Точка (-1, -1).
• При x = -2, y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3. Точка (-2, -3).
• Отметим, что при x=0, y=1, но так как x < 0, эта точка не включается в график (обозначается выколотой точкой).

Вторая часть: y = -1.5x при x ≥ 0

• Это также линейная функция. Построим её для неотрицательных значений x.
• Найдем две точки:
• При x = 0, y = -1.5(0) = 0. Точка (0, 0). Эта точка включается в график.
• При x = 2, y = -1.5(2) = -3. Точка (2, -3).

Визуализация графика:

Шаг 2: Анализ пересечений с прямой y = c

Прямая y = c — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком нашей функции, она должна пересекать обе ветви графика.

• Рассмотрим первую ветвь (y = 2x + 1, x < 0): Она идет из верхней левой части координатной плоскости вниз. Её значения y стремятся к +∞ при x → -∞ и к 1 при x → 0 (но не достигают 1).
• Рассмотрим вторую ветвь (y = -1.5x, x ≥ 0): Она начинается из точки (0, 0) и идет вниз в правую часть координатной плоскости. Её значения y равны 0 при x = 0 и стремятся к -∞ при x → +∞.

Чтобы прямая y=c пересекала обе ветви ровно по одному разу (что в сумме даст две точки), она должна быть ниже начала координат (y=0), так как первая ветвь уходит вверх, а вторая — вниз. Если бы мы рассматривали ветку y = 2x+1 для x >=0, то она бы тоже уходила вверх. Однако, у нас x < 0.

График функции имеет "излом" (или вершину) в точке (0,0) для второй ветви и уходит вверх (но не включая точку (0,1)) для первой ветви.

• Если c > 1, прямая y=c не пересечет ни одну из ветвей.
• Если c = 1, прямая y=c пересечет первую ветвь (x<0) (теоретически, если бы точка (0,1) была включена) и не пересечет вторую.
• Если 0 < c < 1, прямая y=c пересечет первую ветвь (x<0) ровно один раз. Вторую ветвь (x>=0) она не пересечет.
• Если c = 0, прямая y=c (т.е. ось x) пересечет вторую ветвь ровно в одной точке (0,0) и первую ветвь (x<0) не пересечет.
• Если c < 0, прямая y=c будет пересекать обе ветви:
• Первую ветвь (y=2x+1): 2x+1 = c => 2x = c-1 => x = (c-1)/2. Так как c<0, то c-1 будет отрицательным, и x будет отрицательным. Это соответствует условию x<0.
• Вторую ветвь (y=-1.5x): -1.5x = c => x = c / (-1.5) => x = -2c/3. Так как c<0, то -2c/3 будет положительным. Это соответствует условию x>=0.

Таким образом, прямая y = c будет иметь ровно две общие точки с графиком функции при любых значениях 'c', которые меньше нуля.

Ответ: c < 0