9. (3 балла) Радиусы трех шаров равны 3см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вспомним формулу для вычисления объема шара: \(V = rac{4}{3}πr^3\).
2. Шаг 2: Вычислим объемы трех заданных шаров:
   • \(V_1 = rac{4}{3}π(3 ext{ см})^3 = rac{4}{3}π · 27 ext{ см}^3 = 36π ext{ см}^3\)
   • \(V_2 = rac{4}{3}π(4 ext{ см})^3 = rac{4}{3}π · 64 ext{ см}^3 = rac{256}{3}π ext{ см}^3\)
   • \(V_3 = rac{4}{3}π(5 ext{ см})^3 = rac{4}{3}π · 125 ext{ см}^3 = rac{500}{3}π ext{ см}^3\)
3. Шаг 3: Найдем сумму объемов трех шаров:
4. \(V_{сумма} = V_1 + V_2 + V_3 = 36π + rac{256}{3}π + rac{500}{3}π\)
5. \(V_{сумма} = rac{108π + 256π + 500π}{3} = rac{864π}{3} = 288π ext{ см}^3\)
6. Шаг 4: Пусть \(R\) — радиус искомого шара. Его объем \(V_{искомый} = rac{4}{3}πR^3\).
7. Шаг 5: Приравняем объем искомого шара к сумме объемов: \(rac{4}{3}πR^3 = 288π\).
8. Шаг 6: Сократим \(π\) и решим уравнение относительно \(R^3\): \(rac{4}{3}R^3 = 288\)
9. \(R^3 = 288 · rac{3}{4} = 72 · 3 = 216\).
10. Шаг 7: Найдем \(R\), извлекая кубический корень из 216: \(R = ∛{216} = 6\) см.

Ответ: 6 см