9. (3 балла) Радиусы трех шаров равны 3см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вспомним формулу для вычисления объема шара: \(V = \frac{4}{3}πr^3\).
2. Шаг 2: Вычислим объемы трех заданных шаров:
   • \(V_1 = \frac{4}{3}π(3 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}π · 27 \text{ см}^3 = 36π \text{ см}^3\)
   • \(V_2 = \frac{4}{3}π(4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}π · 64 \text{ см}^3 = \frac{256}{3}π \text{ см}^3\)
   • \(V_3 = \frac{4}{3}π(5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}π · 125 \text{ см}^3 = \frac{500}{3}π \text{ см}^3\)
3. Шаг 3: Найдем сумму объемов трех шаров:
4. \(V_{сумма} = V_1 + V_2 + V_3 = 36π + \frac{256}{3}π + \frac{500}{3}π\)
5. \(V_{сумма} = \frac{108π + 256π + 500π}{3} = \frac{864π}{3} = 288π \text{ см}^3\)
6. Шаг 4: Пусть \(R\) — радиус искомого шара. Его объем \(V_{искомый} = \frac{4}{3}πR^3\).
7. Шаг 5: Приравняем объем искомого шара к сумме объемов: \(\frac{4}{3}πR^3 = 288π\).
8. Шаг 6: Сократим \(π\) и решим уравнение относительно \(R^3\): \(\frac{4}{3}R^3 = 288\)
9. \(R^3 = 288 · \frac{3}{4} = 72 · 3 = 216\).
10. Шаг 7: Найдем \(R\), извлекая кубический корень из 216: \(R = ∛{216} = 6\) см.

Ответ: 6 см