9. (6) Прямая \(2x+3y=c\), где \(c\) — некоторое число, касается гиперболы \(y=\frac{6}{x}\) в точке с отрицательными координатами. Найдите \(c\).

Из уравнения прямой выразим \(y\):

\(y=\frac{c-2x}{3}\).

В точке пересечения с гиперболой:

\(\frac{c-2x}{3}=\frac6x\).

После умножения на \(3x\):

\(cx-2x^2=18\), или \(2x^2-cx+18=0\).

Для касания дискриминант должен быть равен нулю:

\(D=c^2-4\cdot2\cdot18=c^2-144=0\).

Следовательно, \(c=12\) или \(c=-12\). Точка с отрицательными координатами соответствует третьей четверти, поэтому \(c<0\).

Ответ: \(c=-12\).