9. ABCD — прямоугольник. Точка K лежит на BC, BK = x, KC = y, AK — биссектриса угла A. x : y = 5 : 2, Pₐᵦ꜀ᴅ = 72. S — ?

Question

Вопрос:

9. ABCD — прямоугольник. Точка K лежит на BC, BK = x, KC = y, AK — биссектриса угла A. x : y = 5 : 2, Pₐᵦ꜀ᴅ = 72. S — ?

Accepted Answer

1. В прямоугольном треугольнике ABK угол B равен 90°. Так как AK — биссектриса прямого угла A, угол BAK равен 45°, поэтому треугольник ABK равнобедренный: AB = BK = x.

2. BC = BK + KC = x + y. Из периметра следует AB + BC = 72 : 2 = 36, то есть 2x + y = 36.

3. По отношению x : y = 5 : 2 положим x = 5t, y = 2t. Тогда 12t = 36, откуда t = 3. Значит, x = 15, y = 6, AB = 15, BC = 21.

4. S = AB · BC = 15 · 21 = 315.

Ответ: S = 315.