9. Числа m и n таковы, что каждое из чисел m + 5 и 39 − n кратно 17. Докажите, что число m + n кратно 17.

По условию существуют целые числа a и b, для которых m + 5 = 17a и 39 − n = 17b.

Сложим равенства:

(m + 5) + (39 − n) = 17(a + b).

Отсюда m − n + 44 делится на 17. Поскольку 44 = 34 + 10, следует лишь, что m − n + 10 кратно 17; утверждение о m + n из данных не следует.

Контрпример: m = 12, n = 5. Тогда m + 5 = 17 и 39 − n = 34 — оба числа кратны 17, но m + n = 17 (кратно 17). Возьмём другой допустимый выбор: m = 12, n = 22. Тогда m + 5 = 17, 39 − n = 17, а m + n = 34, тоже кратно 17. Условия на деле дают m ≡ 12 и n ≡ 5 (mod 17), поэтому сумма всегда ≡ 0 (mod 17): из второго условия n ≡ 39 ≡ 5 (mod 17), и первое даёт m ≡ −5 ≡ 12 (mod 17).

Следовательно, m + n ≡ 12 + 5 ≡ 0 (mod 17).

Ответ: m + n кратно 17.