9. Дан равносторонний треугольник OBD. Найдите |\(\vec{OB} + \vec{OD}\)|, если стороны треугольника равны 40√3.

Решение:

Треугольник OBD — равносторонний, значит, все его стороны равны \(OB = OD = BD = 40\sqrt{3}\) и все углы равны 60°.

Нам нужно найти |\(\vec{OB} + \vec{OD}\)|. По правилу сложения векторов (правило параллелограмма), если векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\) исходят из одной точки O, то их сумма \(\vec{OB} + \vec{OD}\) равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

Поскольку треугольник OBD равносторонний, то параллелограмм OBXD (где X — такая точка, что OBXD — параллелограмм) будет ромбом, так как \(|\vec{OB}| = |\vec{OD}|\).

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Диагональ OX будет биссектрисой угла BOD.

Угол BOD равен 60°.

Рассмотрим треугольник, образованный векторами \(\vec{OB}\), \(\vec{OD}\) и их суммой \(\vec{OS}\) (где S — конец вектора суммы).

В равностороннем треугольнике OBD, если провести медиану (и она же будет высотой и биссектрисой) из вершины O к стороне BD, она будет содержать вектор суммы \(\vec{OB} + \vec{OD}\).

Угол между \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\) равен 60°.

Длина вектора суммы |\(\vec{OB} + \vec{OD}\)| равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\).

Так как \(|\vec{OB}| = |\vec{OD}|\), то этот параллелограмм является ромбом.

Длина диагонали ромба, исходящей из вершины угла между сторонами, вычисляется по формуле:

\[ |\vec{S}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha} \]