9) Дано: BB₁ ∥ CC₁, BC ∩ α = A, B₁ ∈ α, C₁ ∈ α, B — середина AC. Доказать: AC₁ : AB₁ = 2 : 1.

Из параллельности BB₁ и CC₁ и коллинеарности A, B, C следует подобие треугольников ABB₁ и ACC₁. Поэтому AB₁/AC₁ = AB/AC.

Так как B — середина AC, то AB = ½AC, следовательно, AB/AC = 1/2. Значит, AB₁/AC₁ = 1/2, откуда AC₁ = 2AB₁.

Ответ: AC₁ : AB₁ = 2 : 1.