9. Дано: $DABC$ — пирамида, $\triangle ABC$ — правильный, $O$ — центр $\triangle ABC$, $M\in DC$, $MC=2DM$. Докажите, что $OM\parallel(ABD)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Дано: $DABC$ — пирамида, $\triangle ABC$ — правильный, $O$ — центр $\triangle ABC$, $M\in DC$, $MC=2DM$.…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $MC=2DM$, точка $M$ делит отрезок $DC$ в отношении $DM:MC=1:2$. Значит, $M$ находится на трети пути от $D$ к $C$.
В правильном треугольнике центр $O$ является центроидом, поэтому в векторной записи относительно начала координат $O=(A+B+C)/3$, а из отношения деления $M=(2D+C)/3$.
Тогда $\overrightarrow{OM}=M-O=(2D-A-B)/3$. Этот вектор параллелен вектору $2D-A-B$, который является линейной комбинацией векторов, лежащих в плоскости $(ABD)$. Следовательно, направление прямой $OM$ параллельно этой плоскости.
Точка $O$ не лежит на прямой $AB$, поэтому $O\notin(ABD)$ (пересечение плоскостей $(ABC)$ и $(ABD)$ — прямая $AB$). Значит, $OM$ не лежит в $(ABD)$.

Ответ: $OM\parallel(ABD)$.

9. Дано: \(DABC\) — пирамида, \(\triangle ABC\) — правильный, \(O\) — центр \(\triangle ABC\), \(M\in DC\), \(MC=2DM\). Докажите, что \(OM\parallel(ABD)\).