9. Докажите, что \((a^3-b^3)(a-b)\geq3ab(a-b)^2\).

Перенесём правую часть в левую и разложим разность кубов:

\((a^3-b^3)(a-b)-3ab(a-b)^2=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)-3ab(a-b)^2\).

Вынесем \((a-b)^2\) за скобки:

\((a-b)^2(a^2+ab+b^2-3ab)=(a-b)^2(a-b)^2=(a-b)^4\).

Для любых действительных \(a,b\) выполняется \((a-b)^4\geq0\). Следовательно, левая часть исходного неравенства не меньше правой.

Равенство достигается при \(a=b\).