9) \( \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}} \)

Решение:

Сначала вычислим сумму дробей в знаменателе.

1. Приведём дроби \( \frac{1}{30} \) и \( \frac{1}{42} \) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 30 и 42 равен 210.
2. \( \frac{1}{30} = \frac{1 \times 7}{30 \times 7} = \frac{7}{210} \).
3. \( \frac{1}{42} = \frac{1 \times 5}{42 \times 5} = \frac{5}{210} \).
4. Сложим дроби в знаменателе: \( \frac{7}{210} + \frac{5}{210} = \frac{7 + 5}{210} = \frac{12}{210} \).
5. Теперь выполним деление: \( \frac{1}{\frac{12}{210}} \).
6. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \( 1 \cdot \frac{210}{12} = \frac{210}{12} \).
7. Сократим дробь. Оба числа делятся на 6: \( 210 : 6 = 35 \) и \( 12 : 6 = 2 \).
8. \( \frac{210}{12} = \frac{35}{2} \).
9. Переведём в смешанную дробь: \( \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} \).

Ответ: \( 17\frac{1}{2} \).