9. На рисунке ∠AMC = 90°, ∠ANC = 90°, точки A, M, B лежат на одной прямой, точки B, N, C — на одной прямой. AC = BC. Если cos ∠B = 1/3, найдите AN/CN.

Пусть AC = BC = 1. В прямоугольном треугольнике ABC угол при B имеет косинус 1/3, поэтому AB = √(1 − 1/9) = 2√2/3.

Положим A = (0, 0), B = (2√2/3, 0), C = (2√2/3 + 1/3, 2√2/3). Тогда M и N — проекции C и A соответственно на прямую AB и BC.

Расстояние от A до прямой BC равно AB · sin ∠B. Так как sin ∠B = √(1 − cos² ∠B) = 2√2/3, получаем AN = (2√2/3)² = 8/9. Кроме того, проекция AC на BC равна AC · cos ∠B = 1/3; поскольку BN = BC − CN и проекция отрезка BA на BC равна BC · cos ∠B, отсюда CN = 1 − 1/3 = 2/3.

Следовательно, AN/CN = (8/9)/(2/3) = 4/3.

Ответ: 4/3.