9. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и Е так, что отрезки AD и СЕ равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и ВЕ тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \), точки D и E на стороне AC. \( AD = CE \), \( BD = BE \).

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (т.е. \( AB = BC \) или \( \angle BAC = \angle BCA \)).

1. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( BD = BE \), то \( \triangle BDE \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BDE = \angle BED \).
2. Углы \( \angle BDE \) и \( \angle BAC \) являются смежными с углами \( \angle BDA \) и \( \angle BDC \) соответственно.
3. Углы \( \angle BED \) и \( \angle BCA \) являются смежными с углами \( \angle BEA \) и \( \angle BEC \) соответственно.
4. Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то и их смежные углы равны, если рассматривать их как углы при основании равнобедренного треугольника.
5. \( \angle BDA = \angle BEC \) (как смежные с равными углами \( \angle BDE \) и \( \angle BED \)).
6. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \).
7. У нас есть: \( AD = CE \) (по условию).
8. \( \angle BDA = \angle BEC \) (доказано выше).
9. \( BD = BE \) (по условию).
10. По двум сторонам и углу между ними, \( \triangle ABD \) = \( \triangle CBE \) (по второму признаку равенства треугольников, если рассмотреть угол BDA и BEC как внутренние углы треугольников, то это будет первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, но мы не знаем, что они равны).
11. Нужно использовать тот факт, что \( \angle BDA \) и \( \angle BEC \) — углы при основании \( \triangle BDE \).
12. \( \angle BDA = 180^{\circ} - \angle BDE \)
13. \( \angle BEC = 180^{\circ} - \angle BED \)
14. Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \angle BDA = \angle BEC \).
15. Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \).
16. У нас есть:
• \( AD = CE \) (по условию).
• \( BD = BE \) (по условию).
• \( \angle BDA = \angle BEC \) (доказано выше).
17. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBE \) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
18. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны.
19. \( AB = CB \).
20. \( \angle BAD = \angle BCE \).
21. Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.