9. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24.

Треугольник равнобедренный: боковые стороны равны 13, основание — 24. Высота к основанию делит его пополам:

\[h=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5.\]

Площадь:

\[S=\frac12\cdot24\cdot5=60.\]

Полупериметр:

\[p=\frac{13+13+24}{2}=25.\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{S}{p}=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}.\]

Радиус описанной окружности:

\[R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot13\cdot24}{4\cdot60}=\frac{169}{20}.\]

Для расстояния \(OI\) между центрами используем формулу Эйлера:

\[OI^2=R(R-2r).\]

\[OI^2=\frac{169}{20}\left(\frac{169}{20}-\frac{24}{5}\right)=\frac{169}{20}\cdot\frac{73}{20}=\frac{12337}{400}.\]

\[OI=\frac{13\sqrt{73}}{20}\text{ см}.\]

Ответ: \(\frac{13\sqrt{73}}{20}\) см.